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中国数学家的小故事50字【摘抄文案100句】

类别:经典句子 /人气:59 ℃/2023-01-12 09:06:56

一、适合小学生讲的数学家故事

1、这些趣味十足的数学故事中充满了统筹优化的智慧,可以帮助孩子建立逻辑思维。

2、经过刻苦钻研,牛顿的学习成绩不断提高,不久就超过了曾欺侮过他的那个同学,名列班级前茅。

3、 21世纪七大数学难题 美国的克雷数学研究所于2000年5月24日在巴黎宣布了众多数学家评选的结果:对七个“千禧年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。 “千年大奖问题”公布以来,在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的,但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。可以预期,“千年大奖问题”将会改变新世纪数学发展的历史进程。

4、6Lindemann(林德曼),也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的几个人之一。此处收集他的故事两则,一个是说他讲课,一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小事,还是蛮可爱的。传说中Lindemann讲课大部分时间根本就听不清,听清的话都是不可理解的听不懂的话,而少数情况下,他讲的话又清楚又听的懂,那就是错话。Lindemann到巴黎学习的时候,听过Bertrand和Jordan的课,当时学数学的人太少,尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家,听他的课的人只有3个,偶尔会达到4个,其中却有一人是因为教室里暖和。Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一件事,那里有一把椅子,是当年Jacobi坐过的。

5、这个注记表明,“去括号”法则的实质并非我们通常误以为的“乘以−1并应用分配律”,而是最基本的有理数加减法(乘法的概念是不需要的)。

6、类似的这种知识传递,在这套书中比比皆是,也难怪孩子会喜欢这样的学习方式,真的是学的太轻松,太好学了!

7、人,总希望自己能健康长寿的。但是,如何才能达到此目的呢?苏老认为,除上述体育锻炼外,精神保健也是至关重要的。苏老性格开朗,说话幽默,不管是与人谈话还是作报告,常常可以听到他的笑声,他经常讲:“少积忧虑的人,才能健康长寿。”他还讲:为人在世,应该豁达大度,胸怀坦荡,凡事想得开,放得下。再者,人要多动,特别是上了年纪的人,要多找事情做。如果饱食终日,无所事事,或者一味贪图安逸、享受,对健康也绝无好处。一九八五年,苏步青退居二线,相对而言,时间比以前多了些。他马上觉察到,人闲着很容易懒散,精神空虚对身体健康不利,于是,便主动找事情做———连续办了三届中学教师(数学)培训班。

8、的妻子一连生了5个女儿。这与老师讲的正好相反,这该怎么解释?”

9、有一次正在看店的华罗庚在计算一道数学题,来了一位女士想买棉花,当她问华罗庚多少钱时,他完全沉醉于做题中,没有听见对方说的话,当他把答案算完随口说了一个数字,而女士以为他说的是棉花的价格,尖叫道:“怎么这么贵?”,这时华罗庚才知道有人过来买棉花,当华罗庚把棉花卖给女士后才发现刚才自己的算题的草纸被妇女带走了,这可把华罗庚急坏了,不顾一切的去追那位女士,最终还是被他追上了,华罗庚不好意思地说:“阿姨,请……请把草纸还给我”,那妇女生气地说:“这可是我花钱买的,可不是你送的”。

10、这套书不是单纯的给孩子们讲数学的故事,还在故事里融入拓展了很多物理、历史等其它方面的知识。

11、其实这套书拿到手里第一眼就会被美到了,设计和插画实在是太有意思了,主角们的动作、神态、表情等都绘画得十分传神。

12、这本书的作者是大学数学教授,也是德国“数学驿站”数学博物馆馆长。许多公众参观完数学博物馆后都留言提出各种关于数学的问题,作者选取一些最经常被提问的,具有代表性的101个问题,作出细致专业的回答,这些回答构成了这本书的全部内容。为什么推荐这本书呢?因为这些公众最常提出的问题非常具有代表性,可以看作是面向公众(包括学生)做数学启蒙的基础问题。

13、祖冲之祖籍河北,他的祖父和父亲都曾在南朝做官,因而他出生于南方.晋朝末年,由于北方连年混战,中原地区的人口大量迁移到南方,促使长江流域的农业生产和社会经济各方面都有迅速的发展,祖冲之正是诞生在这样的时代环境里。祖家历代对天文历法都很有研究.在家庭的影响下,祖冲之从小便对天文学和数学发生了浓厚的兴趣。

14、《数学家讲解小学数学》,伍鸿熙著,赵洁、林开亮译,北京大学出版社,2016年

15、不仅有100+个数学概念,还有50+个计算公式,包括鸡兔同笼、植树问题等常见的30+个典型应用,不用题海、不用死记硬背,只给孩子讲述数学背后的故事,让文科脑的孩子也能轻松理解数学原理和数学公式,让数学不仅仅停留在试卷上,而是灵活地应用在生活中。

16、乘法的矩形模型关于两个因子是对称的,但是当具体的数量相乘时就失去了对称性:如果件数乘以单价、工作时数乘以小时工资,月数乘以那么在乘数与被乘数之间或多或少地存在着明显的区别。

17、儿童数学家高斯,,上三年级的时候,有一次老师给学生们出了一道1至100之和的算数题。不过老师叙述完几秒钟,高斯第一个把写有答案的小石板交了上去。

18、数学家的问题费马是17世纪法国图卢兹议会的议员,一个诚实而勤奋的人,同时也是历史上最杰出的数学业余爱好者。在其一生中,他给后代留下了大量极其美妙的定理;同时,由于一时的疏忽,也向后世的数学家们提出了严峻的挑战。

19、所有故事虽然趣味性强,但绝不是光为了吸引孩子的兴趣。每个故事的排布,都有它的用意。

20、Gottingen的传说Gottingen市政厅底层的墙上直言不讳的镌刻着:“Gottingen以外没有生活。”

二、中国数学家的小故事50字

1、它像一个美丽的光环,在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉。……”陈景润瞪着眼睛,听得入神。

2、②莱昂哈德·欧拉小时候他就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学连老师都没读过的《代数学》,读得津津有味,遇到不懂的地方,就用笔作个记号,事后再向别人请教。13岁时,靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利的精心指导,后来成为了伟大的数学家。

3、(28)张奠宙,陈省身谈中国数学教育,《高等数学研究》,2005年第02期。

4、父亲感到,让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来,他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯

5、有人问他:”你最大的愿望是什么??“他不假思索地回答”工作到最后一天!他的确为科学辛勤工作到最后一天,实现了自己的诺言。

6、很多人可能会认为柏拉图的《理想国》并不是一本数学书而是哲学书。如果只让我给中小学生推荐一本哲学书的话,我肯定会推荐《理想国》。我认为哲学和数学,“行深般若波罗蜜多时”,理应贯通。但这远远不是我推荐这本书的全部理由。人们常常问这样一个问题:为什么现代数学发源于西方而不是东方?我认为部分答案可以在《理想国》中找到,尤其是里面论述理念的章节。从某种意义上来说,数学就是理念的学科,而2000多年来西方数学(还有哲学)的发展就是在为《理想国》中的理念做诠释。

7、国王做了一顶金王冠,他怀疑工匠用银子偷换了一部分金子,便要阿基米德鉴定它是不是纯金制的,且不能损坏王冠。阿基米德捧着这顶王冠整天苦苦思索,有一天,阿基米德去浴室洗澡,他跨入浴桶,随着身子浸入浴桶,一部分水就从桶边溢出。

8、数学老师本来想怒吼起来,可是一看石板上整整齐齐写了这样的数:50他惊奇起来,因为他自己曾经算过,得到的数也是50这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?

9、谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”结果不到半个小时,小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师,答案是不是这样?”老师头也不抬,挥着那肥厚的手,说:“去,回去再算!错了。”高斯却站着不动,把石板伸向老师面前:“老师!我想这个答案是对的。”

10、看蜘蛛拉丝发明坐标系;

11、注:这里的(M2),(M3)是对有理数的乘法所作的三条基本假设的第二条和第三条,分别是:(M2)如果x是任意的有理数,那么x=x;(M3)对任意有理数x有0·x=x·0=0。接下来我们再来看正整数情况下的负负得正:(−m)(−n)=mn。(−m)(−n)=mn在一般情况的证明与前面的特殊情况本质上是一样的。

12、华罗庚是在国际上享有盛誉的数学家,他的名字在美国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博物馆中,与少数数学家列在。他被选为美国科学院国外院士,第三世界科学院院士,联邦德国巴伐利亚科学院院士。又被授予法国南锡大学、香港中文大学与美国伊利诺伊大学荣誉博士。

13、(5)H.Bass,数学家应是教育家,蔡克聚译,《数学译林》,第17卷(1998年)第4期,pp344–3

14、华罗庚急坏了,于是他说:“要不这样吧!我花钱把它买下来”。正在华罗庚伸手掏钱之时,那妇女好像是被这孩子感动了吧!不仅没要钱还把草纸还给了华罗庚。这时的华罗庚才微微舒了口气。回家后,又开始计算起数学题来。

15、有个地方没看懂。不懂的东西,一定要把他弄懂,这是陈景润的脾气。他看了看表,才十二点半。他想:先到图书馆去查一查,再回来理发还来得及,站起来就走了。谁知道,他走了不多久,就轮到他理发了。理发员大声地叫:“三十八号!谁是三十八号?快来理发!”

16、华罗庚的故事都值得我们学习。正当他求学时,父亲店铺生意日见萧条,无力供他继续读书了,他只好辍学看柜台。他利用一本代数、一本几何、一本只剩50页的微积分开始了自学。白天没有时间,晚上守着小油灯一遍遍地演算。父亲说他是个“书呆子”,几次逼他把书烧掉,邻居也劝他好好做买卖,一些上了大学的同学有的对他也有些冷淡。不幸的是,他又患上了可怕的伤寒,医生摇头叹息地叫家人为他准备“后事”。

17、古希腊是数学的故乡.古希腊人为数学的进步耗费了大量心血甚至生命,做出了卓越的贡献.这个文明古国哺育了许多数学家,象泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里德、阿波罗尼斯、阿基米德、托勒密、海伦、丢番图等.希帕蒂娅(Hypatia)——这位有史以来的第一位女数学家也诞生在这里。

18、不为漫画形式包装硬知识点,而是把孩子带入到精彩的历史情景中,欣赏真正的漫画故事的同时,解决了孩子对“数学”的本能排斥,开始欣然阅读。

19、每一册书都正能量满满,相信看完这套书的孩子一定会大有收获,无论是爱上阅读还是爱上数学,它都不会让你失望,千万别错过这套《易小点数学成长记》。

20、每册附赠当册知识点汇总,趁热打铁

三、适合小学生讲的数学家故事100字

1、2《数学家讲解小学数学》的基本特色

2、这是这一期推荐的第三本斯图尔特的数学书。这本书包括20个数学专题,每个专题都是以谜题,游戏,娱乐等有趣的方式导引读者进入深刻,严肃的数学世界。书中每个专题都可以独立阅读,所以你也可以挑你喜欢那些部分。绝大部分专题我本人都很喜欢。

3、他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。

4、这套书里面全都是孩子能听得懂,又趣味性特别强的数学故事,每个故事都配合了幽默简洁的插画,孩子们可以很容易就明白故事在讲什么。

5、对于m,n是任意有理数的情形,留给有兴趣的读者,可参见

6、比如讲数的诞生,那你知道我们熟悉的1234这些阿拉伯数字是怎么发明的吗,0又是怎么来的?故事中易小点他们在古罗马因为使用了数字0,被罗马教皇派人追杀又是为什么呢?

7、原来:1+100=102+99=103+98=101……50+51=10后两项两两相加,就成了50对和都是101的配对了即101×50=50按今天用公式表示:1+2+……+n

8、高斯的数学老师对学生的态度其实并不好,但当他发现神童高斯的时候心里很是欣慰,而且觉得自己懂的数学不多,教不了高斯更多东西了。并自掏腰包为高斯购买数学书籍。

9、证明:令z=(−1)(−1)。我们的目标是证明z=首先想想:对于有理数z,如何证明它是否等于1?可以尝试的一种方法是,验证z是否满足(−1)+z=0。如果是,则是方向向右长度为1的向量,如下图所示是从以−1为起点0为终点,因此有z=

10、高斯在十一岁的时候就发现了二项式定理(x+y)n的一般情形,这里n可以是正负整数或正负分数。当他还是一个小学生时就对无穷的问题注意了。

11、什么样的人才能称得上是数学天才,真正的数学天赋到底是什么样子,看看天才数学家拉马努金的传记吧!

12、赠送小学段核心知识点墙贴,随时巩固

13、伍教授在书中对历史上许多著名的成就和问题都有简要的介绍,比如说,埃拉托色尼筛法、毕达哥拉斯三元数组、欧几里得算法和哥德巴赫猜想等等,甚至对数的乘法以及单位“米”的历史演化也有简单的介绍。同时,对某些古老问题的近代进展也有提及,例如,维格纳朵夫(I.M.Vinogradov)和陈景润各自对哥德巴赫猜想所作的贡献,甚至提到了陶哲轩(TerenceTao)与格林(B.Green)2004年关于质数分布的工作。这让我们回想起数学家塞尔的建议(见(7)):

14、湖南科学技术出版社(英文)

15、小小年纪就害怕数学、讨厌数学,这样一来,数学这个难题在初中、高中的成绩上会成为绊脚石。

16、做数论的人从实用的观点来判断,我的数学生涯的价值等于零。Hardy

17、还有一个例子特别值得在这里一提,这就是第18章引入的匀速运动的定义。伍教授注意到,在中小学数学文献中,人们很难找到匀速直线运动的准确定义,于是几乎所有与运动有关的问题都要么是通过单位变化率来做,要么是通过比例推理来做,而不是数学推理。他写道,如果在要求学生求解运动问题之前却没有预先告诉他们需要知道哪些条件,那么这绝对不会是成功的教育。

18、拉格朗日出生在意大利的都灵。由于是长子,父亲一心想让他学习法律,然而,拉格朗日对法律毫无兴趣,偏偏喜爱上文学。

19、德国著名大科学家高斯(1777~1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算,在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时,还纠正父亲计算的错误。有一天高斯的数学教师情绪低落的一天。对同学们说:“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。

20、定理一个最简分数可以化为一个有限小数的充分必要条件是分母b具有形式,这里s和t是自然数。

四、适合小学生讲的数学家故事小报

1、除了趣味性,我们还非常强调数学书中的思想性,数学书中的趣味话题和优美图形可以吸引许多人,但文字和符号中蕴含的伟大数学思想却可以引起少数有数学天赋的读者的共鸣。大家会发现,书单中大部分书的作者都有多年数学研究经验。这些作者写的优秀作品中往往会传递出真正的数学思想。当今的中小学和大学的数学教育给我的总体印象是过分强调数学的解题技巧,而忽视了思想的传递。也正是因为这个原因,许多专门讲解题的书都被我们排除在外,包括某位著名数学家写的著名的解题书。

2、这些趣味十足的数学故事可以帮助孩子认识平面几何图形,了解它们各自的特点。

3、数学家高斯的故事其中最有趣的一个就是在高斯念小学的时候,数学老师教给了小学生加法,因为老师当时想要你息,所以便出了一道很难的题目考考同学,而老师正要借口出去喝水时却被高斯叫住了,原来老师刚刚在黑极上写下题目高斯就已经算出答案来了,高斯用一种新的数学方法算出了老师的难题,使得老师大为惊讶。数学家高斯的故事还包括一个他给父亲发薪水的故事,高斯的父亲是一个泥瓦匠,每个星期六他总要在晚上给工人发薪水,当时小高斯只有3岁,他看着爸爸计算工人的工资,在爸爸把一背钱给工人的时候,高斯突然站起来说爸爸你弄错了,然后他说了一个另外的数目,当时很多工人和他的爸爸都不相信,认为这是小孩子的恶作剧,但是当大人重新算一遍的时候发现小高斯竟然是对的。

4、在让人捧腹爆笑的数学历史漫画故事中,数学考0分的易小点为主角给读者开辟了一条清晰的学习之路,小读者们也跟着易小点在故事中逆袭开来。

5、潜移默化中让孩子学会数学、爱上数学

6、有理有据,让孩子读懂小学数学

7、全班同学面面相觑答不上来,唯有华罗庚站起来说:“老师,我知道,是‘23’。”全班同学都震惊了,老师也点头称赞。从此,他便爱上了数学课。

8、德国数学家高斯在很小的时候就用讯捷的方法计算出了1+1+2+一直加到100的和可见高斯多么聪明啊,他是一个多么善于动脑筋的孩子

9、瑞士的伯努利家族是一个数学家族,三代出现了8位杰出的科学家。这个家族人的脾气都不太好,最奇怪的他们是开始都不是从事数学,可是到后来全部迷上了数学。父亲因为儿子得了数学大奖,嫉妒之下竟然一脚从窗户把儿子踹到了室外。

10、比罗教授的话音刚落,伽利略就举手说道:“老师,我有疑问。我的邻居,男的身体非常强壮,可他

11、举例典型、习题丰富。

12、Pascal39岁;Ramanujan31岁;Abel27岁;Galois21岁;Riemann39岁。身体重要的说。deMoivre(棣莫佛)21岁的时候,已经靠教数学为生,并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会,他在一个公爵家里做客,刚好Newton送来了自己的《原理》,他信手翻了一下,惊奇的发现,数学竟然是如此精深如此美丽的一门学问。这样,他买下了这本书,尽管为了教学需要四处奔波,他还要撕下书页,以便能够带在口袋里,空闲时进行研究。

13、第二天上午,在决斗场上,他被打穿了肠子。死之前,他对在他身边哭泣的弟弟说:“不要哭,我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内,所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑是他的著作,由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。

14、从时间的计量开始讲起,用有趣的数学故事讲述了计时、时间单位换算、长度单位、比例尺、重量等10个数学概念。

15、由于高斯有过人的天赋,后来被费迪南公爵发现了,并决定给他经济救援,让他有机会受高深教育,在费迪南公爵的帮助下,高斯进入了一所十五岁的高斯进入一间著名的学院(程度相当于高中和大学之间)。在那里他学习了古代和现代语言,同时也开始对高等数学作研究。

16、这是法国数学家,计算机学家德拉耶写的一本数学科普书。书中展示了大量有趣的数学问题。披萨问题,挂画问题,悬空堆砌问题,这些问题普通人都能听懂,而且非常吸引人,但解决起来却非常困难,目前还有许许多多的猜想无法解决,而且计算机在解决这些问题中大显身手。只有有相关(数学,计算机)研究背景的人才有可能写出这样的科普书。书中穿插大量的数学游戏,许多游戏连小学生都可以玩个不停,比如其中的萌芽游戏就深深地吸引了我们家的一位小学一年级的小朋友。不论是中学生,大学生还是职业数学家读这本书都会大有收获。我就被其中的一个和素数相关的问题吸引了,并打算尝试解决相关问题。

17、Hilbert(希尔伯特)曾有一个学生,给了他一篇论文来证明Riemann(黎曼)猜想,尽管其中有个无法挽回的错误,Hilbert还是被深深的吸引了。第二年,这个学生不知道怎么回事就死了,Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天,风雨瑟瑟,这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词,首先指出,这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀,众人同感,哭得越来越凶。接下来,Hilbert说,尽管这个人的证明有错,但是如果按照这条路走,应该有可能证明Riemann猜想,再接下来,Hilbert继续热烈的冒雨讲道:“事实上,让我们考虑一个单变量的复函数.....”众人皆倒。

18、祖冲之晚年的时候,掌握宋朝禁卫军的萧道成灭了宋朝。

19、数学家鲁道夫的故事

20、出了一块长方形的土地,长40米,宽15米,他一算,面积正好是600平方米,平均每一头羊占地6平

五、适合小学生讲的数学家故事下载

1、3~6岁的孩子可以作为亲子共读的读物,7~12岁的孩子可以进行独立阅读,家有孩子的爸爸妈妈们入手一套给孩子“内卷”起来也十分合适!

2、说几个数学家作为教师的生涯吧,大部分出名的人物讲课都不是太出色,或者说偶尔会很失败。譬如说Newton当初就经常对着空空的讲堂,他讲东西第一不是太清楚,第二太难,所以Cambridge的学生没有人喜欢他的课。

3、这套书还有配套的音频,每个知识点都可以当做单独的故事来听,对孩子有不小的启发。

4、一天,沈元老师在数学课上给大家讲了一故事:“200年前有个法国人发现了一个有趣的现象:6=3+8=5+10=5+12=5+28=5+100=11+每个大于4的偶数都可以表示为两个奇数之和。因为这个结论没有得到证明,所以还是一个猜想。大数学欧拉说过:虽然我不能证明它,但是我确信这个结论是正确的。

5、这些趣味十足的数学故事可以帮助孩子理解各种类型的数。

6、定理每一个分数可以通过约去分子和分母的最大公因子得到最简分数。而且其最简分数在下述意义下是唯一的,如果,其中和都是最简分数,那么a=A且b=B。

7、这些趣味十足的数学故事可以帮助孩子理解运算法则和运算规律。

8、据说白居易写诗但求“老妪能解”,他的诗一定要修改到连不识字的老太婆都能听懂为止。我最近也一直在思考,如何把高高在上的数学思想写成普罗大众都能看得懂的文字。在这本书里,作者成功地做到了这一点,他和白居易一样,把书稿修改到连没有数学头脑的人都能读懂为止。这大概是数学普及的最高境界了,所以这部书也同样适合小学生阅读。

9、这大概是数学史上最著名的一篇散文,作者写这篇文章的时候,已经到了英雄迟暮的衰老年纪了。在文中,作者感慨自己已经没有精力再从事数学研究,整篇文章的基调是淡淡的哀伤.......

10、满满的10分,足以看出此书的质量之高,内容之好~

11、1LevLandau(朗道)这位俄国最伟大的物理学家惊叹道:“为什么素数要相加呢?素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。术业有专攻呀......

12、全书一共分为8册,分别是:

13、在认识数学概念的过程中,全是故事和科普,很有趣。比如数学计数的起源:

14、他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的作品。还不到十八岁的高斯发现了:一个正n边形可以用直尺和圆规画出当且仅当n是底下两种形式之一:k=0,2……十七世纪时法国数学家费马(Fermat)以为公式在k=0,……给出素数。(事实上,目前只确定F0,FFF4是质数,F5不是)。

15、阿基米德死后,人们整理出版了《阿基米德遗着全集》,以永远缅怀这位科学巨匠的伟大业绩。

16、华罗庚就想啊,怎么才能最快喝到茶呢?于是,他想出了三种解决方法:

17、(1)C.L.Alexandersen,MorrisKlein访问记,刘钝译,《数学译林》,第8卷(1989年)第4期,

18、在中小学数学里,25与6作带余除法,所得商为4余数为通常写作

19、小欧拉帮助爸爸放羊,成了一个牧童。他一面放羊,一面读书。

20、6Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事,说是他在街上散步,发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题,于是Minkowski轻轻地拍拍他的肩膀,告诉他“收敛是肯定的”,年轻人感激而笑。

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